Question

【题目】如图，是⊙的直径，点分别在两个半圆上（不与点重合），的长分别是关于的方程的两个实数根．

（1）的值为_____；

（2）连接三者之间的等量关系为_____．

Answer 1

【答案】 ．

【解析】

（1）由方程有实数根可得出≥0，化简得（m-5）2≤0，由偶次方的非负性即可求出m的值；
（2）由（1）可得出AD=BD，将△ADC绕点D逆时针旋转90°后，得△BDE，根据旋转的性质以及圆内接四边形的性质，可得出点C、B、E三点共线且△CDE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出AC+BC=CD．

解：（1）∵AD、BD的长分别是关于x的方程的两个实数根，
∴b2-4ac≥0，即（-10）2-4×1×（m2-10m+225）≥0，
化简整理，得：m2-10m+25≤0，即（m-5）2≤0．
又∵（m-5）2≥0，
∴m=5．

故答案为：5；
（2）由（1）得，当m=5时，b2-4ac=0，∴AD=BD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．
将△ADC绕点D逆时针旋转90°后，得△BDE，如图所示．

∴△ADC≌△BDE，
∴∠DAC=∠DBE，CD=ED，∠ADC=∠BDE．
∵∠DAC+∠DBC=180°，
∴∠DBE+∠DBC=180°，
∴点C、B、E三点共线．
∵∠ADC+∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠CDB+∠BDE=90°．
又∵CD=ED，
∴△CDE为等腰直角三角形．
∴CE=CD，
即AC+BC=CD．

故答案为：AC+BC=CD．