【题目】阅读下面材料,完成(1)~(2)题:
数学课上,老师出示了一道题:如图1,将一个直角三角板的直角边摆放在直线上,然后以直角顶点为旋转中心顺时针旋转这个三角板.若射线平分、探究和的数量关系,并说明经过一段时间的思考后,同学们开始了交流:
小明:我根据老师的叙述画出图2,并计算出当时,的度数是;
小红:在小明的图形中,点、都在的上方,我发现,在这种情况下,始终在的内部.若设的度数是,通过计算,的度数可以用含的式子表示,得到和的数量关系是;
小华:我除了画小明的这种图形,还画了其余几种,也分别得出和的数量关系,从而解决了老师提出的问题.
老师:这些同学都先画出图形,再解决问题,这体现了图形的直性,但要注意一点,在初中阶段我们研究的角都是小于的.随着大家交流的深入,点的位置由上方到直线外,的值由数字到字母,这体现了从特殊到一般的思想,同学们再根据小华所说的进行探究,还能归纳出其他的数学思想方法!
图1 图2
(1)如图2,点、都在上方,.
①用含的代数式表示为_____________;
②小红的“始终在的内部”的说法是正确的吗,为什么?
(2)根据小华的叙述,写出与的数量关系并说明.
【答案】(1)①;②始终在的内部; (2)当点在的上方,点在的下方的图形时, ;当点在的下方,点在的上方时, ;当点、都在的下方时, .
【解析】
(1)①观察图形,寻找角之间的关系,可以发现.
②小红说法是正确的,只要证明当点、都在的上方时, 即可.
(2)继续旋转三角尺,分别作出点在的上方,点在的下方的图形; 点在的下方,点在的上方的图形; 点、都在的下方的图形并一一解答即可.
解: (1)①观察图形可得.
②当点、都在的上方时,
因为,
所以,
所以始终在的内部.
(2)第一种情况,当点在的上方,点在的下方的图形时,如图:
此时
第二种情况,当点在的下方,点在的上方时,如下图:
此时
第三种情况,当点、都在的下方时,如下图:
此时
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【题目】已知:O是直线AB上的一点,是直角,OE平分.
(1)如图1.若.求的度数;
(2)在图1中,,直接写出的度数(用含a的代数式表示);
(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置,探究和的度数之间的关系.写出你的结论,并说明理由.
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【题目】近些年全国各地频发雾霾天气,给人民群众的身体健康带来了危害,某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售.若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元,且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同.
(1)求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元?
(2)若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台,且进货花费不超过42000元,问最少进货甲种空气净化器多少台?
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【题目】如图(一),为一条拉直的细线,两点在上,且. 若先固定点,将折向 ,使得重迭在BP上,如图(二);再从图(二)的点及与点重迭处一起剪开,使得细线分成三段,则此三段细线由小到大的长度比为( )
A.B.C.D.
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【题目】学生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一.为此,某区教委对该区部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级,A级:对学习很感兴趣;B级:对学习较感兴趣;C级:对学习不感兴趣),并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)将图①补充完整;
(3)求出图②中C级所占的圆心角的度数.
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【题目】《九章算术》记载“今有邑方不知大小,各中开门.出北门三十步有木,出西门七百五十步见木.问邑方有几何?”意思是:如图,点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点,ME⊥AD,NF⊥AB,EF过点A,且ME=30步,NF=750步,则正方形的边长为( )
A. 150步B. 200步C. 250步D. 300步
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【题目】如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°,测得底部C处的俯角为58°,求乙建筑物的高度CD.(结果取整数,参考数据:tan58°≈1.60,tan48°≈1.11).
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【题目】已知多项式是关于的二次二项式.
(1)请填空:______;______;______;
(2)如图,若,两点在线段上,且,,两点分别是线段,的中点,且,求线段的长;
(3)如图,若,,分别是数轴上,,三点表示的数,点与点到原点的距离相等,且位于原点两侧,现有两动点和在数轴上同时开始运动,其中点先以2个单位每秒的速度从点运动到点,再以5个单位每秒的速度运动到点,最后以8个单位每秒的速度返回到点停止运动;而动点先以2个单位每秒的速度从点运动到点,再以12个单位每秒的速度返回到点停止运动.在此运动过程中,,两点到点的距离是否会相等?若相等,请直接写出此时点在数轴上表示的数;若不相等,请说明理由.
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