Question

如图，直线y=-

1

4

x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，∠BAC=90°．
（1）求AB两点的坐标及△ABC的面积；
（2）在第二象限内有一点P（a，1）．
 ①使用含a的代数式表示△ABP的面积；
 ②若S_△ABP=S_△ABC，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由已知直线y=-

1

4

x+3分别令y=0、x=0即可求出A、B的坐标；
（2）连接PO，①分别求得S_△AOP=6，S_△BOP=-

3

2

a，S_△AOB=18，根据S_△ABP=S_△BOP+S_△AOB-S_△AOP即可求得；②再利用S_△ABP=S_△ABC建立含a的方程，通过解方程求得答案．

解答：解：（1）∵直线y=-

1

4

x+3与x轴y轴分别交于点A，B，
令y=0，则0=-

1

4

x+3，解得x=12，
∴A（12，0），
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
∴AB=

OA2+OB2

=

153

，
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴S_△ABC=

1

2

×

153

×

153

=

153

2

；
（2）连接PO，
①∵P（a，1）．
∴S_△AOP=

1

2

OA×1=

1

2

×12×1=6，S_△BOP=

1

2

OB×（-a）=-

3

2

a，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△AOB-S_△AOP=-

3

2

a+

1

2

×3×12-6=-

3

2

a+12；
②∵S_△ABP=S_△ABC，
∴-

3

2

a+12=

153

2

，解得a=-43
∴P（-43，1）．

点评：本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系；把S_△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键．