Question

【题目】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝AB；②图中与△EGD全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；④S四边形ODGF＝S△ABF．其中正确的结论是（ ）

A. ①③B. ①③④C. ①②③D. ②②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG= CD=AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG//AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；④不正确；即可得出结果.

解：四边形ABCD是菱形，

在△ABG和△DEG中，

∴△ABG≌△DEG（AAS），

∴.AG=DG，

∴OG是△ACD的中位线，

∴OG=CD=AB，①正确；

∵AB//CE，AB=DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴∠BCD=∠BAD=60°，

∴△ABD、△BCD是等边三角形，

∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，

∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，③正确；

∴AD⊥BE，

由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，

在△ABG和△DCO中，

∴△ABG≌△DCO

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，则②不正确。

∵OB=OD，AG=DG，

∴OG是△ABD的中位线，

∴OG∥AB，OG=AB，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF:OF=2：1，

∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，

又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，

∴ S四边形ODGF=S△ABF；④不正确；

故答案为：A.