Question

18． 如图，抛物线y=x²+2x+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）若∠ACB=90°，求m．
（2）在第（1）问的条件下，设抛物线的顶点为D，求顶点D的坐标，并判断△ABD是否为等边三角形（不要求写过程）．
（3）在第（1）问的条件下，设直线y=n与抛物线相交于点M、N，若△MND为等边三角形，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定与性质，可得m²=2a+a²，根据图象上的点满足函数解析式，可得方程②，根据解方程，可得m的值；
（2）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得AB的长，根据勾股定理，可得BD的长，根据等边三角形的定义，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得N、M的坐标，根据平行于x轴直线上两点间的距离是较大的横坐标减较小的横坐标，可得MN的长，根据勾股定理，可得DN的长，根据等边三角形的定义，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）如图1：
，
连接AC，BC，设B（a，0），A（-2-a，0）．
当x=0时，y=m，即C（0，m）．
由∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠CAO=90°，得
∠OCB=∠OAC．
又∠BOC=∠COA，
△BOC∽△COA，
$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OC}{OA}$，即$\frac{a}{|m|}$=$\frac{|m|}{|-2-a|}$，化简，得m²=2a+a²①．
将B点坐标代入函数解析式，得
a²+2a+m=0②．
把①代入②得
m²+m=0．
解得m=-1，m=0（不符合题意，舍），
（2）△ABD是不是等边三角形，理由如下：
y=x²+2x-1=（x+1）²-2，即D（-1，-2）．
当y=0时，x²+2x-1=0，解得x₁=-1+$\sqrt{2}$，x₂=-1-$\sqrt{2}$，
即A（-1-$\sqrt{2}$，0），B（-1+$\sqrt{2}$，0）．
AB=-1+$\sqrt{2}$-（-1-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理，得
BD=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
BD=AD≠AB，
△ABD是不是等边三角形；
（3）如图2：

当y=n时，x²+2x-1=n，
解得x₁=-1+$\sqrt{2+n}$，x₂=-1-$\sqrt{2+n}$，
M（-1+$\sqrt{2+n}$，n），N（-1-$\sqrt{2+n}$，n）．
MN=2$\sqrt{2+n}$．
DN=$\sqrt{（\sqrt{2+n}）^{2}+（n+2）^{2}}$，
由△MND为等边三角形，得
MN=DN=DM，即2$\sqrt{2+n}$=$\sqrt{（\sqrt{2+n}）^{2}+（n+2）^{2}}$，
化简，得
（n+2）²-3（n+2）=0．
解得n=-2（不符合题意，舍），n=1
△MND为等边三角形，n的值为1．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用相似三角形的性质的出关于m，b的方程，图象上的点满足函数解析式得出关于m，b的方程是解题关键；利用勾股定理得出BD的长是解题关键；利用等边三角形的定义的出关于n的方程是解题关键．