Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于，两点，过点的直线分别与轴及抛物线交于点

（1）求直线和抛物线的表达式

（2）动点从点出发，在轴上沿的方向以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，为直角三角形？请直接写出所有满足条件的的值．

（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位后，与轴，轴分别交于，两点，在抛物线的对称轴上是否存在点，在直线上是否存在点，使的值最小？若存在，求出其最小值及点，的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或3或4或12；（3）存在，，，最小值

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求点D坐标，再求点C坐标，然后分类讨论即可；

（3）通过做对称点将折线转化成两点间距离，用两点之间线段最短来解答即可.

解：（1）把代入，

得

解得，

∴抛物线解析式为，

∵过点B的直线，

∴把代入，解得，

∴直线解析式为

（2）联立，解得或，所以，

直线：与轴交于点，则，

根据题意可知线段，则点

则，，

因为为直角二角形

①若，则，

化简得：，或

②若，则，

化简得

③若，则，

化简得

综上所述，或3或4或12，满足条件

（3）在抛物线上取点的对称点，过点作于点，交抛物线对称轴于点，过点作于点，此时最小

抛物线的对称轴为直线，则的对称点为，

直线的解析式为

因为，设直线：，

将代入得，则直线：，

联立，解得，则，

联立，解得，则，