【题目】定义:如图,在△ABC中,∠C=30°,我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦,记作thi A,即thi A==
.请解答下列问题:
已知:在△ABC中,∠C=30°.
(1)若∠A=45°,求thi A的值;
(2)若thi A=,则∠A= °;
(3)若∠A是锐角,探究thi A与sinA的数量关系.
【答案】(1)thiA=;
(2)60或120;
(3)thiA=2sinA
【解析】
试题(1) 根据已知找到BC和AB的关系,依据定义计算出答案即可;
(2) 过点B向AC所在直线作垂线,根据thi A==
,利用正弦首先表示出垂线段的长度,再根据正弦分两种情况:当∠A为锐角或钝角时,可得∠A=60°或120°.
(3) 根据题意,由thiA=, sinA=
, sinC=
=
易得BC=2BH,进而可得答案.
试题解析:
解:(1)如图,作BH⊥AC,垂足为H.
在Rt△BHC中,sinC==
,即BC=2BH.
在Rt△BHA中,sinA==
,即AB=
BH.
∴thiA==
.
(2)60或120.
(3)在Rt△ABC中,thiA=.
在Rt△BHA中,sinA=.
在Rt△BHC中,sinC==
,即BC=2BH.
∴thiA=2sinA.
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【题目】如图,是用8个大小相同的小正方体搭成的几何体,仅在该几何体中取走一块小正方体,使得到的新几何体同时满足两个要求:(1)从正面看到的形状和原几何体从正面看到的形状相同;(2)从左面看到的形状和原几何体从左面看到的形状也相同.在不改变其它小正方体位置的前提下,可取走的小正方体的标号是_____.
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【题目】如图所示,是小聪同学在一次数学兴趣小组活动中,用直尺和圆规对Rt△ACB(∠ACB=90°)进行了如下操作:
①作边AB的垂直平分线EF交AB于点O;
②作∠ACB的平分线CM,CMEF相交于点D;
③连接AD,BD.
请你根据操作,观察图形解答下列问题:
(1)△ABD的形状是______;
(2)若DH⊥BC于点H,已知AC=6,BC=8,求BH的长.
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【题目】苏科版九年级下册数学课本91页有这样一道习题:
(1)复习时,小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解,并得到了老师的认可:
①可以假定正方形的边长AB=4a,则AE=DE=2a,DF=a,利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF;请结合提示写出证明过程.
②图中的相似三角形共三对,而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似.证明过程如下:
(2)交流之后,小亮尝试对问题进行了变化,在老师的帮助下,提出了新的问题,请你解答:
已知:如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC.
(AB>AE)
①求证:△AEF∽△ECF;
②设BC=2,AB=a,是否存在a值,使得△AEF与△BFC相似.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证:ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面积.
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【题目】如图,已知点D在⊙O的直径AB延长线上,点C在⊙O上,过点D作ED⊥AD,与AC的延长线相交于点E,且CD=DE.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若AB=12,且BC=CE时,求BD的长.
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