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    9．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

    原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
    （1）思路梳理
    把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌△AFE，故EF、BE、DF之间的数量关系
    为EF=DF+BE．
    （2）类比引申
    如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为EF=DF-BE，并给出证明．
    （3）联想拓展
    如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的长．

    分析 （1）先根据旋转得：∠ADG=∠A=90°，计算∠FDG=180°，即点F、D、G共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得结论EF=DF+DG=DF+AE；
    （2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF-DG=DF-BE；
    （3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，证明△DAE≌△GAE，得DE=EG，先由勾股定理求EG的长，从而得结论．

    解答 解：（1）思路梳理：
    如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，
    由旋转得：∠ADG=∠A=90°，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
    ∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
    即点F、D、G共线，
    ∵四边形ABCD为矩形，
    ∴∠BAD=90°，
    ∵∠EAF=45°，
    ∴∠BAE+∠FAD=90°-45°=45°，
    ∴∠FAD+∠DAG=∠FAG=45°，
    ∴∠EAF=∠FAG=45°，
    在△AFE和△AFG中，
    ∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△AFE≌△AFG（SAS），
    ∴EF=FG，
    ∴EF=DF+DG=DF+AE；
    故答案为：△AFE，EF=DF+AE；
    （2）类比引申：
    如图2，EF=DF-BE，理由是：
    把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，
    由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
    ∵∠BAD=90°，
    ∴∠BAE+∠BAG=90°，
    ∵∠EAF=45°，
    ∴∠FAG=90°-45°=45°，
    ∴∠EAF=∠FAG=45°，
    在△EAF和△GAF中，
    ∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△EAF≌△GAF（SAS），
    ∴EF=FG，
    ∴EF=DF-DG=DF-BE；
    （3）联想拓展：
    如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
    由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，
    ∵∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠B=∠ACB=45°，
    ∴∠ACG=∠B=45°，
    ∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，
    ∵EC=6，CG=BD=3，
    由勾股定理得：EG=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{36+9}$=3$\sqrt{5}$，
    ∵∠BAD=∠CAG，∠BAC=90°，
    ∴∠DAG=90°，
    ∵∠BAD+∠EAC=45°，
    ∴∠CAG+∠EAC=45°=∠EAG，
    ∴∠DAE=45°，
    ∴∠DAE=∠EAG=45°，
    ∵AE=AE，
    ∴△AED≌△AEG，
    ∴DE=EG=3$\sqrt{5}$．

    点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题．

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