【题目】如图,点A的坐标为(﹣4,4),点B的坐标为(0,1).以点A为直角顶点作∠CAD=90°,射线AC交y轴的负半轴于点C,射线AD交x轴的负半轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)OD﹣OC的值是否为定值?如果是,求出它的值;如果不是,求出它的变化范围;
(3)平面内存在点P,使得A、B、C、P四点能构成菱形,
①P点坐标为 ;
②点Q是射线AC上的动点,求PQ+DQ的最小值.
【答案】解:(1) y=x+1
(2) 是定值;OD-OC=8;
(3) ①(-4,-1) ②PQ+DQ的最小值为
【解析】解:(1)设直线AB的解析式为:y=kx+b(k≠0),∵点A(﹣4,4),点B(0,1)在直线AB上,∴ ,解得: ,∴直线AB的解析式为: ;
(2)是定值.理由如下:
过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F(如答图),可得∠AED=∠AFC=90°,又∵∠BOD=90°,∴∠EAF=90°,即∠CAE+∠CAF=90°,∵∠CAD=90°,即∠CAE+∠DAE=90°,∴∠DAE=∠CAF,∵A(﹣4,4),∴OE=AF=AE=OF=4,在△AED和△AFC中,∵∠DAE=∠CAF,AE=AF,∠AED=∠AFC=90°,∴△AED≌△AFC(ASA),∴ED=FC,∴OD﹣OC=(OE+ED)﹣(FC﹣OF)=OE+OF=8,则OD﹣OC的值不发生变化,值为8;
(3)①∵菱形的对角线互相垂直,而AB和BC显然不可能垂直,∴AB和BC只能是邻边,∵AB= =5,∴BC=5,∴C(0,-4),设P(x,y),则由菱形对角线互相平分和中点坐标公式有: , ,解得:x=-4,y=-1.∴P(-4,-1).
②∵菱形ABCP中,B、P关于AC对称, ∴PQ=BQ, ∴(PQ+DQ)min=(BQ+DQ)min=BD
∵BC=BA=5,∴OC=4
由(2)得,OD=OC+8=12, ∴Rt△BOD中,
答:PQ+DQ的最小值为.
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【题目】有下列四个命题:①相等的角是对顶角;②同位角相等;③两点之间,直线最短;④从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离.其中是真命题的个数有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】体育委员带了500元钱去买体育用品,已知一个足球a元,一个篮球b元.则代数式500-3a-2b表示的意义为___________________________________________________
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【题目】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图1,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D.得∠BPD=∠B﹣∠D.将点P移到AB、CD内部,如图2,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;
(2)在如图2中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图3,则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系?(不需证明);
(3)根据(2)的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积在数量上相等,则这个点叫做和谐点.
(1)判断点M(﹣1,2),N(﹣4,﹣4)是否为和谐点,并说明理由;
(2)若和谐点P(a,3)在直线y=﹣x+b(b为常数)上,试求a,b的值.
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【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OD⊥AB于点O,分别交AC、CF于点E、D,且DE=DC.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,BC=,求DE的长.
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