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【题目】如图,点 O 是等边ABC 内一点,AOB=110°,BOCa.将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°ADC,则ADC≌△BOC,连接 OD

(1)求证:COD 是等边三角形;

(2)α=120°时,试判断 AD OC 的位置关系,并说明理由;

(3)探究:当 a 为多少度时,AOD 是等腰三角形?

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)当 a 为 125°或 110°或 140°时,△AOD 是等腰三角形.

【解析】

(1)根据旋转得出CO=CD,∠DCO=60°,根据等边三角形的判定推出即可.
(2)求出∠ADO=∠COD=60°,根据平行线的判定推出即可.
(3)用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO,分为三种情况:①∠ADO=∠AOD,②∠ADO=∠OAD,③∠OAD=∠AOD,代入求出即可.

证明:(1)∵△ADC≌△BOC

COCD

BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°ADC

∴∠DCO=60°,

∴△COD 是等边三角形.

(2)解:ADOC

理由是:∵△DOC 是等边三角形,

∴∠CDO=∠DOC=60°,

∵∠α=120°,△COB≌△CDA

∴∠ADC=∠COB=120°,

∴∠ADO=120°﹣60°=60°,

∴∠ADO=∠DOC=60°,

ADOC

(3)解:AOD=360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD=360°﹣110°﹣∠α﹣60°=190°﹣∠α,∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=∠α﹣60°,∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠ADO=180°﹣(∠α﹣60°)﹣(190°﹣∠α)=50°, ADO=∠AOD,即∠α﹣60°=190°﹣∠α,

解得:∠α=125°;

ADO=∠OAD,则∠α﹣60°=50°, 解得:∠α=110°;

OAD=∠AOD,即 50°=190°﹣∠α, 解得:∠α=140°;

即当 a 125° 110° 140°时,AOD 是等腰三角形.

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