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【题目】已知点F2 , P分别为双曲线 的右焦点与右支上的一点,O为坐标原点,若2 |,且 ,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.

【答案】D
【解析】解:方法一:设P(x,y),F1(﹣c,0),F2(c,0),
由题意可知:2 = + ,则M为线段PF2的中点,则M( ),
=(c,0), =( ),
= ×c= 解得:x=2c,
由丨 丨=丨 丨=c,即 =c,解得:y= c,
则P(2c, c),由双曲线的定义可知:丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a,
=2a,a=( ﹣1)c,
由双曲线的离心率e= =
∴该双曲线的离心率
故选D.
方法二:由题意可知:2 = + ,则M为线段PF2的中点,
则OM为△F2F1P的中位线,
=﹣ =﹣丨 丨丨 丨cos∠OF2M=
由丨 丨=丨 丨=c,则cos∠OF2M=﹣
由正弦定理可知:丨OM丨2=丨 2+丨 2﹣2丨 丨丨 丨cos∠OF2M=3c2
则丨OM丨= c,则丨PF1丨=2 ,丨PF2丨=丨MF2丨=2c,
由双曲线的定义丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a,a=( ﹣1)c,
由双曲线的离心率e= =
∴该双曲线的离心率
故选D.
方法一:由题意可知:则M为线段PF2的中点,则M( ),根据向量数量积的坐标运算,即可求得x=2c,利用两点之间的距离公式,即可求得y= c,利用双曲线的定义,即可求得a=( ﹣1)c,利用双曲线的离心率公式即可求得该双曲线的离心率.
方法二:由题意可知:2 = + ,则M为线段PF2的中点,根据向量的数量积,求得cos∠OF2M,利用余弦定理即可求得丨OM丨,根据三角形的中位线定理及双曲线的定义丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a,a=( ﹣1)c,即可求得双曲线的离心率.

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A. B.

C. D.

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