【题目】已知椭圆Γ: 经过点 ,且离心率为 .
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线l与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且与椭圆Γ相交于不同的两点A,B,求|AB|的最大值.
【答案】
(1)解:将 代入椭圆方程, ,
由椭圆的离心率e= = ,
解得:a=2,b=1,
∴椭圆Γ的方程为
(2)解:当直线l垂直于x轴时,由直线l与圆O:x2+y2=1相切,
可知直线l的方程为x=±1,易求 .
当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,
由直线l与圆O:x2+y2=1相切,得 ,即m2=k2+1,
将y=kx+m代入 ,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 , ,
= ,
又因为m2=k2+1,
所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
综上所述,|AB|的最大值为2.
【解析】(1)将E代入椭圆方程,根据椭圆的离心率公式,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论,当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨,根据基本不等式的性质即可求得丨AB丨的最大值.
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【题目】如图,△ABC中,E是BC中点,AD是∠BAC的平分线,EF//AD交AC于F.若AB=11,AC=15,则FC的长为( )
A.11
B.12
C.13
D.14
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【题目】已知命题p,x∈R都有2x<3x , 命题q:x0∈R,使得 ,则下列复合命题正确的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.(¬p)∧(¬q)
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【题目】已知等差数列{an}的前n(n∈N*)项和为Sn , a3=3,且λSn=anan+1 , 在等比数列{bn}中,b1=2λ,b3=a15+1. (Ⅰ)求数列{an}及{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{cn}的前n(n∈N*)项和为Tn , 且 ,求Tn .
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【题目】已知集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|y=log2(x﹣1)},则A∪B=( )
A.(0,+∞)
B.(1,2)
C.(2,+∞)
D.(﹣∞,0)
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【题目】已知函数f(x)=x﹣ax(a>0,且a≠1).
(1)当a=e,x取一切非负实数时,若 ,求b的范围;
(2)若函数f(x)存在极大值g(a),求g(a)的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=(x2﹣2x)1nx+ax2+2,g(x)=f(x)﹣x﹣2. (Ⅰ)当a=﹣1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若a>0且函数g(x)有且仅有一个零点,求实数a的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若e﹣2<x<e时,g(x)≤m恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】设函数f(x)= ,则满足f(f(m))=3f(m)的实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,0)∪{﹣ }
B.[0,1]
C.[0,+∞)∪{﹣ }
D.[1,+∞)
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