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【题目】阅读理解:

如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是

对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:如果,则称点P为线段AB等角点显然,线段AB等角点有无数个,且ABP三点共圆.

ABP三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和的半径;

轴正半轴上是否有线段AB等角点?如果有,求出等角点的坐标;如果没有,请说明理由;

当点Py轴正半轴上运动时,是否有最大值?如果有,说明此时最大的理由,并求出点P的坐标;如果没有请说明理由.

【答案】(1)①半径为.(2)

【解析】分析:

(1)①如下图1,连接BC、AC,则由“圆周角定理”可知∠ACB=2∠APB=90°,过点CCH⊥AB于点H,则由已知条件根据“垂径定理”可得AH=BH=CH=3,从而可得OH=OA+AH=4,由此即可得到点C的坐标为(-4,3)或(-4,-3);此时在Rt△ACH中由勾股定理可求得的半径为 ;②如下图2,当点C的坐标为(-4,3)时,过点CCD⊥y轴于点D,则由CD=4<可知此时Cy轴有交点,设交点为P1P2,连接CP1CP2,利用勾股定理求得DP1DP2的长度即可求得P1P2的坐标了;

(2)如下图3,当过A,B的圆与y轴相切于点P,∠最大设此时圆心为E,则E在第三象限,在y轴的正半轴上任意取一点不与点P重合连接MA,MB,PA,PB,设MBE于点N,连接NA,则由“圆周角定理”和“三角形外角的性质”易得∠APB=∠ANB>∠AMB,从而说明此时∠APB最大;再过点EEF⊥x轴于点F,连接EA、EP,易证四边形OPEF是矩形,由此可得PE=OF=4,再Rt△AEF中,由勾股定理可得EF=从而可得OP=,由此即可得到此时点P的坐标为.

详解:

(1)①如图1,

x轴的上方,作以AB为斜边的直角三角形ACB,易知点ABP上,连接CACB,过点C轴于点H

由垂径定理可得,

所以,半径为

由对称性可知,点也满足条件.

轴的正半轴上存在线段AB等角点”.

如图2所示,

当圆心为时,过点C轴于点D,则

的半径为

y轴相交,

设交点为,连接CA,则

轴,

当过AB的圆与y轴相切于点P时,最大.

理由如下:如果点Py轴的正半轴上,如图3,

设此时圆心为E,则E在第三象限,在y轴的正半轴上任意取一点不与点P重合

连接MAMBPAPB,设MB于点N,连接NA

P、点N上,

的外角,

,即

此时,过点E轴于点F,连接EAEP,则

y轴相切于点P,则轴,

∴四边形OPEF是矩形,

的半径为4,即

∴在中,

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