Question

16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD并于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．
①求证：OE=OF．
②连接DE，BF，则EF与BD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．

Answer 1

分析 ①由平行四边形的对边平行且相等，得到DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由对角线互相平分得到OD=OB，利用AAS得到三角形DOF与三角形BOE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
②EF与BD相等时，四边形DEBF是矩形，理由为：由DF与BE平行且相等得到四边形DEBF为平行四边形，利用对角线互相平分的平行四边形是矩形即可得证．

解答 ①证明：∵平行四边形ABCD，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠OEB，
在△DOF和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFO=∠EBO}\\{∠DFO=∠BEO}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF；
②若EF=BD时，四边形DEBF为矩形，理由为：
∵△DOF≌△BOE，
∴DF=BE，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵EF=BD，
∴四边形DEBF为矩形．

点评 此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．