Question

20．（1）已知：如图，点M在正方形ABCD的对角线BD上．求证：AM=CM．
（2）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4．求：cosC的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据四边形ABCD是正方形，可得AD=CD，∠ADM=∠CDM=45°，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ADM≌△CDM，即可判断出AM=CM；
（2）连接OD，根据切线的性质可得∠ODC=90°，可得cosC的值．

解答 （1）证明：∵四边形是ABCD正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADM和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}AD=DC\\∠ADM=∠CDM\\ DM=DM\end{array}\right.$
∴△ADM≌△CDM（SAS）
∴AM=CM；
（2）解：连接OD，
∵CD为圆O的切线，
∴∠ODC=90°，
∵AB=4，
∴OA=OD=2，
∵AC=7
∴OC=5，
在Rt△COD中，根据勾股定理得 CD=$\sqrt{21}$，
∴cosC=$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．

点评 （1）此题考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
（2）本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．