Question

13．如图，∠CAE是△ABC的外角，
①∠1=∠2，②AD∥BC，③AB=AC．
（1）请用①、②作为条件证明③；
（2）请用①、③作为条件证明②；
（3）作∠B的平分线交AD于F，分析△ABF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠B=∠1，∠2=∠C，根据已知条件得到∠1=∠2，等量代换得到∠B=∠C，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据外角的性质得到∠EAC=∠1+∠2=∠B+∠C，推出∠EAC=2∠1=2∠B，于是得到∠1=∠B，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠AFB=∠FBC，由角平分线的性质得到∠ABF=∠FBC，等量代换得到∠ABF=∠AFB．

解答 解：（1）命题：如果①②，那么③．证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠B=∠1，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）命题：如果①③，那么②．证明如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EAC=∠1+∠2=∠B+∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠EAC=2∠1=2∠B，
∴∠1=∠B，
∴AD∥BC；

（3）△ABF是等腰三角形，
理由：∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴△ABF是等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各定理是解题的关键．