Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），

∴c=4 ①．

∵对称轴x=﹣ =1，

∴b=﹣2a ②．

∵抛物线过点A（﹣2，0），

∴0=4a﹣2b+c ③，

由①②③解得，a=﹣ ，b=1，c=4，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+x+4

（2）解：方法一：假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．

设点F的坐标为（t，﹣ t2+t+4），其中0＜t＜4，

则FH=﹣ t2+t+4，FG=t，

∴S△OBF= OBFH= ×4×（﹣ t2+t+4）=﹣t2+2t+8，

S△OFC= OCFG= ×4×t=2t，

∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12．

令﹣t2+4t+12=17，

即t2﹣4t+5=0，

则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，

∴方程t2﹣4t+5=0无解，

故不存在满足条件的点F

方法二：

∵B（4，0），C（0，4），

∴lBC：y=﹣x+4，

过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣ t2+t+4），

∴H（t，﹣t+4），

∵S四边形ABFC=S△ABC+S△BCF=17，

∴ （4+2）×4+ （﹣ t2+t+4+t﹣4）×4=17，

∴t2﹣4t+5=0，

∴△=（﹣4）2﹣4×5＜0，

∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F

（3）解：方法一：设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），

∵B（4，0），C（0，4），

∴ ，

解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．

由y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴顶点D（1， ），

又点E在直线BC上，则点E（1，3），

于是DE= ﹣3= ．

若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，

设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4）．

① 当0＜m＜4时，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，

由﹣ m2+2m= ，

解得：m=1或3．

当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，

∴m=3，P1（3，1）．

②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m，

由 m2﹣2m= ，

解得m=2± ，经检验适合题意，

此时P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）．

综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）

方法二：

∵DE∥PQ，

∴当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

∵y=﹣ x2+x+4，

∴D（1， ），

∵lBC：y=﹣x+4，

∴E（1，3），

∴DE= ﹣3= ，

设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4），

∴|﹣m+4+ m2﹣m﹣4|= ，

∴ m2﹣2m= 或 m2﹣2m=﹣ ，

∴m=1，m=3，m=2+ ，m=2﹣ ，

经检验，当m=1时，线段PQ与DE重合，故舍去．

∴P1（3，1），P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）．

【解析】方法一：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=﹣ =1，得到b=﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0=4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣ ，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=﹣ x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣ t2+t+4），则FH=﹣ t2+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出S△OBF= OBFH=﹣t2+2t+8，S△OFC= OCFG=2t，再由S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC ， 得到S四边形ABFC=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，由△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5=0无解，即不存在满足条件的点F；（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+4，再求出抛物线y=﹣ x2+x+4的顶点D（1， ），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE= ﹣3= ．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，解方程﹣ m2+2m= ，求出m的值，得到P1（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m，解方程 m2﹣2m= ，求出m的值，得到P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）．方法二：（1）略．（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出△BCF的面积函数，进而求出点F坐标，因为，所以无解．（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ=AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)，还要掌握平行四边形的判定(两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形)的相关知识才是答题的关键．