Question

如图1，双曲线y=

m

x

（x＞0）经过点A（2，1），过点P（a+1，a-1）（a＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=

k

x

（x＜0）和y=

m

x

（x＞0）于M、N两点，交y轴于T点．
（1）求m的值；
（2）如图2，若MT=2NT，求k的值；
（3）是否存在实数a，使得S_△AMN=3S_△APN？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）把A的坐标代入双曲线的解析式即可求解；
（2）利用a表示出NT的长，则MT即可求得，从而求得M的坐标，代入解析式即可求得k的值；
（3）S_△AMN=3S_△APN，则MN=3NT，据此即可得到一个关于a的方程，从而求解．

解答：解：（1）把A（2，1）代入y=

m

x

得：m=2；

（2）在y=

2

x

中，令y=a-1，解得：x=

2

a-1

，则NT=

2

a-1

，
则MT=

4

a-1

，
M的坐标是（

-4

a-1

，a-1），代入y=

k

x

得：k=-4；

（3）PN=（a-1）-

2

a-1

=

(a-1)2-2

a-1

，
MN=3NT=

6

a-1

，
根据题意得：

6

a-1

=3×

(a-1)2-2

a-1

，
解得：a=3或-1（舍去）．
则a=3．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确利用a表述出NT和MN的长是关键．