Question

已知如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（OA＜OB）是方程x²-18x+72=0的两个根，且AC：BC=3：2，过点C作AB的垂线交y轴于点D．
（1）求点C坐标；
（2）求直线AD解析式；
（3）在直线AD上是否存在点P，使以O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出方程x²-18x+72=0的两个根，也就是OA=6，OB=12，再利用勾股定理求出AB的值，由AC：BC=3：2，可求得AC，利用sin∠BAO，即可求出CM，OM，进而求出OM，即可得出点C坐标，
（2）由cos∠ABO=

2 5

5

，可求出BC的值，由BD=BC÷cos∠ABO，即可得出点D的坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，把D（0，6），A（6，0）代入可得直线AD解析式为y=-x+6，
（3）分四种情况讨论）①当P与D点重合时，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形②当P落在AD中点时，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形，③当AP=6时，且P在AD上，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形，④当AP=6时，且P在DA的延长线上，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形分别求解即可．

解答：解：（1）∵方程x²-18x+72=0的两个根为6和12，
∴OA=6，OB=12，
∴AB=

62+122

=6

5

，
∵AC：BC=3：2，
∴AC=

3

5

AB=

18 5

5

，
∵sin∠BAO=

OB

AB

=

12

6 5

=

2 5

5

，
如图1，作CM⊥x轴于点M

∴CM=AC•sin∠BAO=

18 5

5

×

2 5

5

=

36

5

，
AM=AC•cos∠BAO=

18 5

5

×

5

5

=

18

5

，
∴OM=6-AM=

12

5

，
∴C（

12

5

，

36

5

），
（2）∵cos∠ABO=

OB

AB

=

12

6 5

=

2 5

5

，BC=AB•

2

5

=6

5

×

2

5

=

12 5

5

，
∴BD=BC÷cos∠ABO=

12 5

5

÷

2 5

5

=6，
∴D（0，6），
设直线AD解析式为y=kx+b，把D（0，6），A（6，0）代入可得

6=b 0=6k+b

，解得

k=-1 b=6

，
∴直线AD解析式为y=-x+6，
（3）①当P与D点重合时，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形，即P（0，6）．
②当P落在AD中点时，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形，即P（3，3）．
③当AP=6时，且P在AD上，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形，即P（6-3

2

，3

2

）
④当AP=6时，且P在DA的延长线上，O、P、A为顶点的三角形是等腰三角形，即P（6+3

2

，-3

2

）．

点评：本题主要考查了一次函数与几何图形的问题，解题的关键是灵活运用三角函数及分类讨论的思想．