Question

3．已知⊙O经过△ABC的三个顶点，AB=AC，圆心O到BC的距离为3，圆的半径为7，求腰长AB．

Answer 1

分析 先根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD=10cm；圆心在内接三角形外时，AD=4cm，再由勾股定理即可得出结论．

解答 解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，
如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，
连接OA，OB，
∵OD=3cm，OB=7cm，
∴AD=10cm，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}-{OD}^{2}}$=2$\sqrt{10}$cm，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$=2$\sqrt{35}$cm；
如图二，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，
和图一解法一样，只是AD=7-3=4cm，
∴AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$=2$\sqrt{14}$cm，
综上可得腰长AB=2$\sqrt{35}$cm或2$\sqrt{14}$cm．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，有一定难度．