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    20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
    （1）当t为何值时，DE∥AB？
    （2）求四边形BQPC的面积s与t的函数关系式；
    （3）是否存在某一时刻t，使四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15？若存在，求t的值．若不存在，请说明理由；
    （4）若DE经过点C，试求t的值．

    分析 （1）根据DE∥AB，得到△AQP∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，求出t；
    （2）根据四边形BQPC的面积=△ABC的面积-△AQP的面积，列出关于x、y的函数关系式；
    （3）根据（2）中的函数关系式和面积比，求出t；
    （4）DE经过点C，作QH⊥BC于H，得到DH∥AC，用t表示出QH、EH，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出关系式求出t．

    解答 解：（1）当DE∥AB时，∠AQP=90°，
    则△AQP∽△ACB，
    $\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，$\frac{t}{3}$=$\frac{3-t}{5}$，t=$\frac{9}{8}$；
    （2）∠C=90°，AC=3，AB=5，根据勾股定理得，BC=4，
    S△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
    作QF⊥BC于F，

    则QF∥BC，
    $\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QF}{BC}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{QF}{4}$，
    QF=$\frac{4}{5}$t，
    S△AQP=$\frac{1}{2}$×（3-t）×$\frac{4}{5}$t=-$\frac{2}{5}$t2+$\frac{6}{5}$t，
    S=6-（-$\frac{2}{5}$t2+$\frac{6}{5}$t）
    =$\frac{2}{5}$t2-$\frac{6}{5}$t+6；
    （3）（$\frac{2}{5}$t2-$\frac{6}{5}$t+6）：6=13：15，
    整理得，t2-3t+2=0
    解得：t1=1，t2=3（舍去）；
    当t=1时，四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15；
    （4）如图，DE经过点C，作QH⊥BC于H，

    ∵DH∥AC，
    ∴$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{QH}{AC}$=$\frac{BH}{BC}$，
    $\frac{QH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，QH=$\frac{15-3t}{5}$，
    $\frac{BH}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
    BH=$\frac{20-4t}{5}$，HC=$\frac{4}{5}$t，
    ∵DE垂直平分PQ，
    ∴PC=CQ，
    （$\frac{15-3t}{5}$）2+（$\frac{4}{5}$t）2=t2，
    90t=225，
    t=$\frac{5}{2}$．

    点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意方程思想的正确运用．

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