【题目】如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交舡于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2) 求证: ;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)BE的长为.
【解析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF;
(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下来,证明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系;
(3)过点G作GH⊥DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD﹣GH求解即可.
解:(1)证明:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性质可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四边形EFDG为菱形.
(2)EG2=GFAF.
理由:如图1所示:连接DE,交AF于点O.
∵四边形EFDG为菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=FOAF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GFAF.
(3)如图2所示:过点G作GH⊥DC,垂足为H.
∵EG2=GFAF,AG=6,EG=2,
∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,FG=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2,AF=10,
∴AD==4.
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴,即=.
∴GH=.
∴BE=AD﹣GH=4﹣=.
“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用,解题应用了矩形的性质,菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质,掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.
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【题目】某地电话拨号入网有两种收费方式,用户可以任选其一:
(A)计时制:0.05元/分;
(B)包月制:50元/月(限一部个人住宅电话上网).
此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.
(1)某用户某月上网的时间为分,请你用含的代数式分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用;
(2)如果某用户一个月内上网的时间为20小时,你认为采用哪种方式较为合算?
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【题目】(7分)某地政府急灾民之所需,立即组织12辆汽车,将A、B、C三种救灾物资共92吨一次性运往灾区,甲、乙、丙三种车型的汽车分别运载A、B、C三种物资,每辆车按运载量满装物资。假设装运A、B品种物资的车辆数分别为、,根据下表提供的信息解答下列问题:
车型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽车运载量(吨/辆) | 5 | 8 | 10 |
(1)装运C品种物资车辆数为 辆(用含与的代数式表示);
(2)试求A、B、C三种物资各几吨。
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【题目】有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是( )
A.事件A、B都是随机事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是随机事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是随机事件
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【题目】观察下列各式及其验证过程: 验证: = ;
验证: = = = ;
验证: = ;
验证: = = = .
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4 的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.
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【题目】某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是( )
A.100(1+x)2=81
B.100(1﹣x)2=81
C.100(1﹣x%)2=81
D.100x2=81
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