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【题目】如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交舡于点G,连接DG.

(1)求证:四边形EFDG是菱形;

(2) 求证:

(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)BE的长为.

【解析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF;

(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下来,证明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系;

(3)过点G作GH⊥DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD﹣GH求解即可.

解:(1)证明:∵GE∥DF,

∴∠EGF=∠DFG.

∵由翻折的性质可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,

∴∠DGF=∠DFG.

∴GD=DF.

∴DG=GE=DF=EF.

∴四边形EFDG为菱形.

(2)EG2=GFAF.

理由:如图1所示:连接DE,交AF于点O.

∵四边形EFDG为菱形,

∴GF⊥DE,OG=OF=GF.

∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,

∴△DOF∽△ADF.

,即DF2=FOAF.

∵FO=GF,DF=EG,

∴EG2=GFAF.

(3)如图2所示:过点G作GH⊥DC,垂足为H.

∵EG2=GFAF,AG=6,EG=2

∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.

解得:FG=4,FG=﹣10(舍去).

∵DF=GE=2,AF=10,

∴AD==4

∵GH⊥DC,AD⊥DC,

∴GH∥AD.

∴△FGH∽△FAD.

,即=

∴GH=

∴BE=AD﹣GH=4=

“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用,解题应用了矩形的性质,菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质,掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.

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