Question

6．在△ABC中，BC=8，
如图甲，B₁是AB的中点，BC∥B₁C₁，则B₁C₁=4；
如图乙，B₁、B₂是AB的三等分点，BC∥B₁C₁∥B₂C₂，则B₁C₁+B₂C₂=8；
如图丙，B₁、B₂、…、B_n-1是AB的n等分点，BC∥B₁C₁∥B₂C₂∥…∥B_n-1C_n-1，则BC+B₁C₁+B₂C₂+…+B_n-1C_n-1=4（n+1）．

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质，和等分点求出边与BC的相似比，找到规律，计算BC+B₁C₁+B₂C₂+…+B_n-1C_n-1的值．

解答 解：在图甲中∵BC∥B₁C₁，
∴$\frac{A{B}_{1}}{AB}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{CB}$，
∵B₁是AB的中点，
∴B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC=4，
在图乙中，∵B₁、B₂是AB的三等分点，BC∥B₁C₁∥B₂C₂，
∴$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{A{B}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{B}_{2}{C}_{2}}{BC}$=$\frac{A{B}_{2}}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴B₁C₁=$\frac{1}{3}$BC，B₂C₂=$\frac{2}{3}$BC，
∴B₁C₁+B₂C₂=$\frac{1}{3}$BC+$\frac{2}{3}$BC=BC=8，
那么在图丙中，B₁C₁=$\frac{1}{n}$BC，B₂C₂=$\frac{2}{n}$BC，…B_n-1C_n-1=$\frac{n-1}{n}$BC，
∴BC+B₁C₁+B₂C₂+…+B_n-1C_n-1=4（n+1）．
故答案为：4；8；4（n+1）．

点评 本题主要利用相似三角形的性质和等分点求出边与BC的相似比，找出规律是关键．