Question

11．如图：小明同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．
（1）已知AB为30米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求旗杆高；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC为多少米？（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）设旗杆高度PQ=x，在RT△APQ中可得AQ=PQ=x，在RT△BPQ中可得BQ=$\sqrt{3}$x，根据AQ+BQ=AB列出方程，解方程可得；
（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中可得AE=15m，在Rt△CAE中根据sin∠C=$\frac{AE}{AC}$可求得AC．

解答 解：（1）设旗杆的高PQ=xm，
在RT△APQ中，∵∠PAQ=45°，
∴AQ=PQ=x，
在RT△BPQ中，∵∠B=30°，
∴BQ=$\frac{PQ}{tan∠B}$=$\sqrt{3}$x，
∵AQ+BQ=AB，且AB=30，
∴x+$\sqrt{3}$x=30，解得：x=15$\sqrt{3}$-15，
故旗杆高度为（15$\sqrt{3}$-15）m；
（2）过A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∵∠B=30°，AB=30m，
∴AE=sin30°×AB=15m，
∵∠CAD=75°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
在Rt△CAE中，∵sin∠C=$\frac{AE}{AC}$，
∴AC=$\frac{AE}{sin∠C}$=15$\sqrt{2}$m，
故绳子AC为15$\sqrt{2}$米．

点评 本题考查了仰角、俯角的问题及解直角三角形的应用，解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．