Question

2．如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD内部时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）如图所示，当点M落在矩形ABCD内部时，须满足的条件是“BE＜MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．

解答 （1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，
∴∠QAB=∠PAD，
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△ABQ．

（2）解：设PQ与AB交于点E．
如解答图所示，点M落在矩形ABCD内部，须满足的条件是BE＜MN．
∵△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DP}{QB}$，即$\frac{10}{a}$=$\frac{8}{QB}$，解得QB=$\frac{4}{5}$a．
∵AB∥CD，
∴△QBE∽△QCP，
∴$\frac{BE}{PC}$=$\frac{QB}{QC}$，即$\frac{BE}{a-8}$=$\frac{\frac{4}{5}a}{\frac{4}{5}a+10}$，解得BE=$\frac{2a（a-8）}{2a+25}$．
∵MN为中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（a-8）．
∵BE＜MN，
∴$\frac{2a（a-8）}{2a+25}$＜$\frac{1}{2}$（a-8），解得a＜12.5．
∴当点M落在矩形ABCD内部时，a的取值范围为：8＜a＜12.5．

点评 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．解题关键是：第（2）问中需要明确“点M落在矩形ABCD内部”所要满足的条件．