Question

【题目】在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N

（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝　 　°，若△AMN的周长为9，则BC＝　

（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；

（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长

Answer 1

【答案】（1）40；9；（2）见详解；（3）3.5

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM＝BM，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到BAM＝∠B，∠NAC＝∠C，结合图形计算即可；

（2）连接AM、AN，仿照（1）的作法得到∠MAN＝90°，根据勾股定理证明结论；

（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝CP，根据角平分线的性质得到PH＝PE，证明Rt△APH≌Rt△CPE得到AH＝CE，证明△BPH≌△BPE，得到BH＝BE，结合图形计算即可．

解：（1）∵∠BAC＝110°，

∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，

∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，

∴AM＝BM，

∴∠BAM＝∠B，

同理：NA＝NC，

∴∠NAC＝∠C，

∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，

∵△AMN的周长为9，

∴MA+MN+NA＝9，

∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，

故答案为：40；9；

（2）如图②，连接AM、AN，

∵∠BAC＝135°，

∴∠B+∠C＝45°，

∵点M在AB的垂直平分线上，

∴AM＝BM，

∴∠BAM＝∠B，

同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，

∴∠BAM+∠CAN＝45°，

∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，

∴AM2+AN2＝MN2，

∴BM2+CN2＝MN2；

（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，

∴PH＝PE，

∵点P在AC的垂直平分线上，

∴AP＝CP，

在Rt△APH和Rt△CPE中，

，

∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），

∴AH＝CE，

在△BPH和△BPE中，

，

∴△BPH≌△BPE（AAS）

∴BH＝BE，

∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，

∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．