Question

1．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，则CQ的最大值为$\frac{20}{3}$．

Answer 1

分析 由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=$\frac{CB}{AC}$•CP，由tan∠ABC=$\frac{3}{4}$得出CQ=$\frac{4}{3}$CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．

解答 解：∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CQ⊥PC，
∴∠PCQ=90°=∠ACB，
又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），
∴△ACB∽△PCQ，
∴$\frac{CQ}{CB}=\frac{CP}{AC}$．
在Rt△ACB中，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴CQ=$\frac{CB}{AC}$•CP=$\frac{4}{3}$CP．
∵线段CP是⊙O内一弦，
∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=5．
∴CQ=$\frac{4}{3}$×5=$\frac{20}{3}$．
故答案为：$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质．解题的关键是得出CQ=$\frac{4}{3}$CP．本题属于中档题，难度不大，在解决该题中巧妙的运用了三角形相似得出比例关系，化求CQ的最值为求CP的最值．