Question

12．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动．设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，则S与t之间函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t（4＜t＜8）}\end{array}\right.$．（结果化到最简）

Answer 1

分析 分讨论：当0＜t≤4时，利用MN∥AC得到$\frac{ON}{OC}$=$\frac{OM}{OA}$，则ON=$\frac{3}{4}$t，根据三角形面积公式得到y=$\frac{3}{8}$t²；当直线m于AB和CB分别交于点M′、N′，此时直线m交x轴于D，如图，则AD=t-4，证明△M′DA∽△CAO，利用相似比可表示出M′A=$\frac{3}{4}$（t-4），再确定4＜t＜8，然后根据三角形面积公式，利用y=S_△N′OD-S_△M′OD可得y=-$\frac{3}{8}$t²+3t．

解答 解：当0＜t≤4时，∵B（4，3），
∴OA=4，OC=3，
∵MN∥AC，
∴$\frac{ON}{OC}$=$\frac{OM}{OA}$，即$\frac{ON}{3}$=$\frac{t}{4}$，解得ON=$\frac{3}{4}$t，
∴y=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{4}$t=$\frac{3}{8}$t²；
当直线m于AB和CB分别交于点M′、N′，此时直线m交x轴于D，如图，则AD=t-4，
∵∠M′DA=∠CAO，
∴△M′DA∽△CAO，
∴$\frac{M′A}{OC}$=$\frac{AD}{OA}$，即$\frac{M′A}{3}$=$\frac{t-4}{4}$，解得M′A=$\frac{3}{4}$（t-4），
当$\frac{3}{4}$（t-4）=3时，t=8，
∴4＜t＜8，
y=S_△N′OD-S_△M′OD=$\frac{1}{2}$•3•t-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{4}$（t-4）=-$\frac{3}{8}$t²+3t，
综上所述，S与t之间函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t（4＜t＜8）}\end{array}\right.$．
故答案为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t（4＜t＜8）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．