Question

2．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x-2经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标分别是C（（4，2）），D（（1，2））；
（2）求顶点在直线y=x-2上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线顶点沿直线y=x-2平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E，求出当EF=EG时抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据矩形的性质，可得D点坐标；
（2）根据对称性，可得顶点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得顶点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据图形平移，可得y=$\frac{2}{3}$（x-m）²+m-2，根据EF=EG，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）当y=2时，x-2=2，解得x=4，即C点坐标为（4，2）．
由矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，得
4-3=1，即D点的坐标为（1，2）．
故答案为：（4，2），（1，2）；
（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为$\frac{1+4}{2}$，
令x=$\frac{5}{2}$，则y=$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
∴顶点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴设抛物线解析式为y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
把点（1，2$\sqrt{3}$）代入得，
a=$\frac{2}{3}$．
∴解析式为y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{1}{2}$；
（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2），（m＞0）
∴可设解析式为y=$\frac{2}{3}$（x-m）²+m-2，
当x=0时，y=$\frac{2}{3}$m²+m-2，即F点坐标为（0，$\frac{2}{3}$m²+m-2）．
当x=0时，y=m-2，即G（0，-2）．
当GE=EF时，FG=2（y_E-y_G），即
$\frac{2}{3}$m²+m-2-2=2[m-2-（-2）]．
解得m=$\frac{3+\sqrt{105}}{4}$，m=$\frac{3-\sqrt{105}}{4}$，
此时所求的解析式为：y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{3+\sqrt{105}}{4}$）²+$\frac{\sqrt{105}-5}{4}$或y=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{3-\sqrt{105}}{4}$）²-$\frac{\sqrt{105}+5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求C点坐标的关键；利用对称性得出顶点的横坐标是解题关键；利用EF=EG得出关于m的方程是解题关键，注意图形的平移不改变图形的形状．