Question

2．如图，已知抛物线y=ax²-4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；
（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．

Answer 1

分析 （1）把把A点和B点坐标代入y=ax²-4x+c得关于a和c的方程组，然后解方程求出a和c即可得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（3）把P（m，m）代入y=x²-4x-6得m的一元二次方程，解方程求出m得到P点坐标，然后利用对称性确定Q点坐标；
（4）连结AP交直线x=2于点M，如图，利用两点之间线段最短可判断此时MQ+MA最小，则△QMA的周长最小，再利用待定系数法求出直线AP的解析式，然后计算自变量为2的函数值即可得到满足条件的M点坐标．

解答 解：（1）把A（0，-6），B（3，-9）代入y=ax²-4x+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²-4x-6；
（2）因为y=x²-4x-6=（x-2）²-10，
所以抛物线的对称轴方程为x=2，抛物线的顶点坐标为（2，-10）；
（3）把P（m，m）代入y=x²-4x-6得m²-4m-6=m，
整理得m²-5m-6=0，解得m₁=-1（舍去），m₂=6，则P点坐标为（6，6），
点P（6，6）关于直线x=2的对称点为（-2，6），
即点Q的坐标为（-2，6）；
（4）连结AP交直线x=2于点M，如图，
∵P点和Q点关于抛物线的对称轴对称，
∵MA=MP，
∴MQ+MA=MP+MP=AP，
∴此时MQ+MA最小，则△QMA的周长最小，
设AP的解析式为y=kx+b，
把A（0，-6），P（6，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{6k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=2x-6，
当x=2时，y=2x-6=-2，
∴当M（2，-2）时，△QMA的周长最小．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；理解坐标与图形的性质．