Question

【题目】如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，连结CD并延长交AB于点F，连结BD，CE．

（1）求证：△ACE≌△ABD；

（2）当CF⊥AB时，∠ADB＝140°，求∠ECD的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）50°

【解析】

（1）由“SAS”可证△ACE≌△ABD；

（2）由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求∠BDF＝70°，即可得∠ABD＝20°，由全等三角形的性质可得∠ACE＝20°，即可求解．

解：（1）∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠CAB＝60°

∵将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE

∴AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°

∴∠EAC＝∠DAB，且AC＝AB，AE＝AD

∴△ACE≌△ABD（SAS）

（2）∵CF⊥AB，AC＝BC

∴DF垂直平分AB，∠ACF＝∠ACB＝30°

∴AD＝DB，且DF⊥AB

∴∠ADF＝∠BDF＝∠ADB＝70°

∴∠ABD＝20°

∵△ACE≌△ABD

∴∠ABD＝∠ACE＝20°

∴∠ECD＝∠ACE+∠ACF＝50°