Question

如图所示，已知边长为12的正方形ABCD中，E是CD上一点，DE=5，AE的中垂线分别交AD，BC于点M，N，垂足为P点，则

PM

MN

=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由勾股定理求AE的长，过M点作MG⊥BC，垂足为G，利用互余关系证明∠DAE=∠GMN，可证△DAE≌△GMN，从而有MN=AE，从而求得MN的长．然后根据三角形相似求得PM的长，即可求得

PM

MN

的值．

解答：解：∵正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，DE=5，
∴AE=

AD2+DE2

=

122+52

=13，
过M点作MG⊥BC，垂足为G，
∴四边形MDCG是矩形，
∴MG=DC，
∴MG=AD，
∵∠DAE+∠AMN=90°，∠GMN+∠AMN=90°，
∴∠DAE=∠GMN，
在△DAE与△GMN中，

∠DAE=∠GMN AD=MG ∠D=∠MGN

，
∴DAEP≌△GMN（ASA），
∴MN=AE=13，
∵AE=13，
∴AP=

13

2

，
∵∠D=∠APM=90°，
∴∠AMN=∠AED，
∴△AMP∽△AED，
∴

PM

DE

=

AP

AD

，
即

PM

5

=

13 2

12

，解得PM=

65

24

，
∴

PM

MN

=

65 24

13

=

5

24

．
故答案为

5

24

．

点评：本题考查了全等三角形的判断与性质，正方形的性质、勾股定理的运用以及三角形相似的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形是本题的关键．