Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且点C的坐标为（4，﹣4）．

（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；（用含b的式子表示）

（2）当b＝4时，如图所示．连接AC，BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（3）过点C作平行于y轴的直线l2，点P在直线l2上．当﹣5＜b＜4时，在直线l1平移的过程中，若存在点P使得△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的纵坐标．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2b，0），（0，b）；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在，满足条件的点P坐标为（4，﹣）或（4，8）或（4，﹣12），理由见解析

【解析】

（1）由待定系数法即可解决问题；

（2）△ABC是等腰直角三角形．根据两点间距离公式以及勾股定理的逆定理即可判断；

（3）分三种情形①如图2中，当AB＝AP，∠BAP＝90°，设直线l2交x轴于N．设OB＝m，则OA＝2m，理由全等三角形的性质，构建方程解决问题．②如图3中，当AB＝AP′，∠BAP′＝90°时，设OB＝m，OA＝2m，理由全等三角形的性质构建方程解决问题．③如图3中，当AB＝PB，∠ABP＝90°时，同法可得.

解：（1）对于直线y＝x+b，令x＝0，得到y＝b，令y＝0，得到x＝﹣2b，

∴A（﹣2b，0），B（0，b）

故答案为（﹣2b，0），（0，b）；

（2）△ABC是等腰直角三角形．

理由：∵b＝4，

∴A（﹣8，0），B（0，4），∵C（4，﹣4），

∴AB＝，

∴AB＝BC，

∵AB2+BC2＝（4）2+（4）2＝160，AC2＝160，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）①如图2中，当AB＝AP，∠BAP＝90°，设直线l2交x轴于N．

∵OA＝2OB，设OB＝m，则OA＝2m，

由△AOB≌△PNA，可得AN＝OB＝m，PN＝OA＝2m，

∴ON＝3m＝4，

∴m＝，

∴PM＝，

∴P（4，﹣）．

②如图3中，当AB＝AP′，∠BAP′＝90°时，设OB＝m，OA＝2m，

由△AOB≌△P′NA，可得AN＝OB＝m，P′N＝OA＝2m，

∵ON＝4＝2m﹣m，

∴m＝4，

∴P′N＝8，

∴P′（4，8），

③如图3中，当AB＝PB，∠ABP＝90°时，同法可得P（4，﹣12）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（4，﹣）或（4，8）或（4，﹣12）．