Question

14．如图，△ABC中，BC=1，B₁、C₁分别是AB、AC的中点，B₂、C₂分别是B₁B、C₁C的中点，B₃、C₃分别是B₂B、C₂C的中点，且B₁C₁=$\frac{1}{2}$，B₂C₂=$\frac{3}{4}$，B₃C₃=$\frac{7}{8}$，以此规律，线段B₅C₅的长为（　　）

• A． $\frac{31}{32}$
• B． $\frac{63}{64}$
• C． $\frac{127}{128}$
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 根据B₁、C₁分别是AB、AC的中点，B₂、C₂分别是B₁B、C₁C的中点，B₃、C₃分别是B₂B、C₂C的中点，于是设AB=b，找出规律得到AB₅=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$）b=$\frac{{2}^{5}-1}{{2}^{5}}$b，由于B₅C₅∥BC，得到△AB₅C₅∽△ABC，代入即可得到结论．

解答 解：∵B₁、C₁分别是AB、AC的中点，B₂、C₂分别是B₁B、C₁C的中点，B₃、C₃分别是B₂B、C₂C的中点，
∴设AB=b，则AB₁=$\frac{1}{2}$b，
AB₂=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$）b=$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{2}}$b，
AB₃=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$）b=$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}}$b，
由此可得AB₅=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$）b=$\frac{{2}^{5}-1}{{2}^{5}}$b，
∵B₅C₅∥BC，
∴△AB₅C₅∽△ABC，
∴$\frac{{B}_{5}{C}_{5}}{BC}$=$\frac{A{B}_{5}}{AB}$，
B₅C₅=$\frac{BC}{AB}$•AB₅=$\frac{1}{b}$•$\frac{{2}^{5}-1}{{2}^{5}}$b=$\frac{31}{32}$．
故选A．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质的运用，找出规律是解题的关键．