Question

【题目】如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E．

（1）求证：△ABD为等腰直角三角形；

（2）如图2，ED绕点D顺时针旋转90°，得到DE′，连接BE′，证明：BE′为⊙O的切线；

（3）如图3，点F为弧BD的中点，连接AF，交BD于点G，若DF＝1，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ADB=90°，又由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得AD=BD，继而可得△ABD是等腰直角三角形；
（2）证明△ADE≌△BDE'，可得∠DAE=∠DBE'，则∠OBE'=∠ABD+∠DBE'=90°，结论得证；
（3）取AG的中点H，连结DH，则DH=AH=GH，求出DH=DF=1，则答案可求出．

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠DCB，

∴，

∴AD＝BD，

∴△ABD是等腰直角三角形．

（2）由旋转的性质得，∠EDE'＝90°，DE＝DE'，

∵∠ADB＝90°，

∴∠ADE＝∠BDE'，

∵AD＝BD，

∴△ADE≌△BDE'（SAS），

∴∠DAE＝∠DBE'，

∵∠EAD＝∠DCB＝45°，∠ABD＝∠DCA＝45°，

∴∠OBE'＝∠ABD+∠DBE'＝90°，

∴BE′为⊙O的切线；

（3）解：∵点F为的中点，

∴∠FAD＝∠DAB＝22．5°，

取AG的中点H，连结DH，

∵∠ADB＝90°，

∴DH＝AH＝GH，

∴∠ADH＝∠FAD＝22．5°，

∴∠DHF＝∠ADH+∠FAD＝45°，

∵∠AFD＝∠ACD＝45°，

∴∠DHF＝∠AFD，

∴DH＝DF＝1，

∴AG＝2DH＝2．