Question

14．如图，已知AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O交圆于点E，AC=2AD且BD=2．
（1）求：圆O的半径；
（2）连结DE，作∠FDE=∠ADE交圆于F点，连结FE并延长交AB于点G，设DF=$\sqrt{3}$，求△GDF的面积．

Answer 1

分析 （1）由AB和BC分别与圆O相切于点D、C，得到BC=BD=2，∠BCA=90°，根据勾股定理得到BC²+AC²=AB²，求得AD=$\frac{4}{3}$，AC=$\frac{8}{3}$，由切割线定理得AD²=AE•AC，求得AE=$\frac{2}{3}$结论即可得出；
（2）连接OD，设DF与OE交于H，由AD是⊙O的切线，得到∠F=∠EDG，于是得到∠F=∠FDE，根据垂径定理得到DH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据三角函数求出∠FGD=90°，解直角三角形得到DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{3}{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB和BC分别与圆O相切于点D、C，
∴BC=BD=2，∠BCA=90°，
∵AC=2AD，
∴BC²+AC²=AB²，
即2²+（2AD）²=（2+AD）²，
解得：AD=$\frac{4}{3}$，
∴AC=$\frac{8}{3}$，
由切割线定理得：AD²=AE•AC，
∴（$\frac{4}{3}$）²=$\frac{8}{3}$AE，
∴AE=$\frac{2}{3}$，
∴CE=2OC=AC-AE=2，
∴圆O的半径=1；

（2）连接OD，设DF与OE交于H，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠F=∠EDG，
∵∠FDE=∠ADE，
∴∠F=∠FDE，
∴$\widehat{DE}=\widehat{EF}$，
∵CE是⊙O的直径，
∴DF⊥OE，
∴DH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OD=1，
∴∠DOH=60°，
∴∠F=30°，
∴∠HDG=2∠F=60°，
∴∠FGD=90°，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{3}{2}$，
∴S_△GDF=$\frac{1}{2}$DG•GF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．