Question

如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】相似形综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；

（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；

（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．

【解答】解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，

作NP⊥OA于P，如图1所示：

则NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴，

即，

解得：OP=x，PN=，

∴点N的坐标是（x，）；

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，

∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x²+x，

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x²+x（0＜x＜4），

配方得：S=﹣（x﹣2）²+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，

当x=2时，S有最大值，最大值是；

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：

则MN∥AB，

此时OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如图3所示：

则∠ONM=∠OAB，

此时OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴，

即，

解得：x=；

综上所述：x的值是2秒或秒．

【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．