Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，12），点C的坐标为（-4，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=12，CD=n+4，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；
（2）将反比例函数和一次函数的解析式联立，解方程组即可求得点B的坐标；
（3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．

解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，
∵C的坐标为（-4，0），A的坐标为（n，12），
∴AD=12，CD=n+4，
∵tan∠ACO=2，
∴

AD

CD

=

12

n+4

=2，
解得：n=2，
∴A（2，12），
把A（2，12）代入y=

m

x

，
得m=2×12=24，
∴反比例函数表达式为：y=

24

x

，
又∵点A（2，12），C（-4，0）在直线y=kx+b上，
∴2k+b=12，-4k+b=0，
解得：k=2，b=8，
∴一次函数的表达式为：y=2x+8；

（2）由方程组

y=2x+8 y= 24 x

，
解得：

x1=2 y1=12

，

x2=-6 y2=-4

，
∵A（2，12），
∴B（-6，-4）；

（3）分两种情况：
①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E₁（2，0）；
②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，
则

AD

CD

=

DE

AD

，
DE=

144

6

=24，
又∵D的坐标为（2，0），
∴E₂（26，0）．
综上所述，所求点E的坐标为E₁（2，0），E₂（26，0）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，锐角三角函数的定义，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．利用数形结合、方程思想与分类讨论是解题的关键．