【题目】如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.
(1)CD与BE相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;
(2)若∠BAC=90°,求证:BF2+CD2=FD2.
【答案】(1)CD=BE,理由见解析;(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)由两个三角形为等腰三角形可得AB=AC,AE=AD,由∠BAC=∠EAD可得∠EAB=∠CAD,根据“SAS”可证得△EAB≌△CAD,即可得出结论;
(2)根据(1)中结论和等腰直角三角形的性质得出∠EBF=90°,在Rt△EBF中由勾股定理得出BF2+BE2=EF2,然后证得EF=FD,BE=CD,等量代换即可得出结论.
详解:(1)CD=BE,理由如下:
∵△ABC和△ADE为等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE,
∵∠EAD=∠BAC,
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,
即∠EAB=∠CAD,
在△EAB与△CAD中,
∴△EAB≌△CAD,
∴BE=CD;
(2)∵∠BAC=90°,
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ABF=∠C=45°,
∵△EAB≌△CAD,
∴∠EBA=∠C,
∴∠EBA=45°,
∴∠EBF=90°,
在Rt△BFE中,BF2+BE2=EF2,
∵AF平分DE,AE=AD,
∴AF垂直平分DE,
∴EF=FD,
由(1)可知,BE=CD,
∴BF2+CD2=FD2.
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【题目】1930年,德国汉堡大学的学生考拉兹,曾经提出过这样一个数学猜想:对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能够得到1.这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”,又称“奇偶归一猜想”.虽然这个结论在数学上还没有得到证明,但举例验证都是正确的,例如:取正整数5,最少经过下面5步运算可得1,即:如果正整数最少经过6步运算可得到1,则的值为__________.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD,对角线BD为⊙O的直径,AC与BD交于点E.点F为CD延长线上,且DF=BC.
(1)证明:AC=AF;
(2)若AD=2,AF=,求AE的长;
(3)若EG∥CF交AF于点G,连接DG.证明:DG为⊙O的切线.
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【题目】如图,海中一渔船在A处与小岛C相距70海里,若该渔船由西向东航行30海里到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上,则该渔船此时与小岛C之间的距离是_____海里.
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【题目】如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将线段AB沿x轴向右平移5个单位到DC,设DC与双曲线交于点E,求点E到x轴的距离.
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【题目】某项工程由甲、乙两个工程队合作完成,先由甲队单独做3天,剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成,工程进度满足如图所示的函数关系:
(1)求出图象中②部分的解析式,并求出完成此项工程共需的天数;
(2)该工程共支付8万元,若按完成的工作量所占比例支付工资,甲工程队应得多少元?
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【题目】如图1,是线段上一动点,沿的路线以的速度往返运动1次,是线段的中点,,设点的运动时间为.
(1)当时,则线段 ,线段 .
(2)用含的代数式表示运动过程中的长.
(3)在运动过程中,若的中点为,问的长是否变化?与点的位置是否无关?
(4)知识迁移:如图2,已知,过角的内部任一点画射线,若、分别平分和,问∠EOC的度数是否变化?与射线的位置是否无关?
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【题目】按要求画图,并解答问题
(1)如图,取BC边的中点D,画射线AD;
(2)分别过点B、C画BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F;
(3)BE和CF的位置关系是 ;通过度量猜想BE和CF的数量关系是 .
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