Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造PEQD，设点P运动的时间为t秒．

（1）设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h；

（2）当点E落在AC边上时，求t的值；

（3）当点Q在边AB上时，设PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；

（4）连接CD，直接写出CD将PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜t≤时，h＝2t，当＜t≤4时，h＝；（2）；（3）当0≤t＜时，；当＜t≤4时，；（4）t的值为或．

【解析】

（1）分点Q在线段BC，线段AB上两种情形分别求解即可．

（2）利用平行线等分线段定理解决问题即可．

（3）分点Q在线段BD，在线段AD上两种情形分别求解即可．

（4）当点E落在直线CD上时，CD将PEQD分成的两部分图形面积相等．有两种情形：①当点E在CD上，且点Q在CB上时 （如图3所示），②当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），分别求解即可解决问题．

解：（1）当0＜t≤时，h＝2t．

当＜t≤4时，h＝3﹣（2t﹣3）＝．

（2）当点E落在AC边上时，DQ∥AC，

∵AD＝DB，

∴CQ＝QB，

∴2t＝，

∴t＝．

（3）①如图1中，当0≤t＜时，作PH⊥AB于H，则PH＝PAsinA＝﹣2t，

∴S＝．

②如图2中，当＜t≤4时，同法可得．

（4）当点E落在直线CD上时，CD将PEQD分成的两部分图形面积相等．有两种情形：

①当点E在CD上，且点Q在CB上时 （如图3所示），

过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，

易证Rt△PGE≌Rt△DHQ，

∴PG＝DH＝2，

∴CG＝2﹣t，GE＝HQ＝CQ﹣CH＝2t﹣，

∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC

∴在Rt△CEG中，tan∠ECG＝，

∴t＝．

②当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），过点E作EF⊥CA于点F，

∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD．

∵PE∥AD，∴∠CPE＝∠CAD＝∠ACD，∴PE＝CE，

∴PF＝PC＝，PE＝DQ＝﹣2t，

∴在Rt△PEF中，cos∠EPF＝，

∴t＝综上所述，满足要求的t的值为或．