Question

求方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³的所有非零整数解．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：先将方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³整理变形得到y=

1+3x

3-x

=-3+

10

3-x

，再根据10的约数情况求得方程的所有非零整数解．

解答：解：将原方程整理：x³+x²y²+xy+y³=x³-3x²y+3xy²+y³（x≠0，y≠0），
xy+1=3y-3x，
y=

1+3x

3-x

=-3+

10

3-x

，
当x=-7时，y=-2；
当x=-2时，y=-1；
当x=1时，y=2；
当x=2时，y=7；
当x=4时，y=-13；
当x=5时，y=-8；
当x=8时，y=-5；
当x=13时，y=-4．
故方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³的所有非零整数解是

x=-7 y=-2

，

x=-2 y=-1

，

x=1 y=2

，

x=2 y=7

，

x=4 y=-13

，

x=5 y=-8

，

x=8 y=-5

，

x=13 y=-4

．

点评：考查了非一次不定方程（组），解题的关键是将方程（x²+y）（x+y²）=（x-y）³整理变形得到y=

1+3x

3-x

=-3+

10

3-x

．