Question

已知关于x的方程x²+（a+1）x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：设方程两根分别为2t，3t，根据判别式的定义得△=（a+1）²-4（b-1）=1，整理得a²+2a=4b-4①，根据根与系数的关系得到2t+3t=-（a+1），2t•3t=b-1，消去t得到6•（-

a+1

5

）²=b-1，整理得6a²+12a=25b-31②，然后把①代入②得6（4b-4）=25b-31，可解得b=7，则a²+2a-24=0，解得a₁=-6，a₂=4，
再把a=-6，b=7和a=4，b=7代入原方程，然后利用因式分解法求解．

解答：解：设方程两根分别为2t，3t，
根据题意得△=（a+1）²-4（b-1）=1，整理得a²+2a=4b-4①，
2t+3t=-（a+1），2t•3t=b-1，
所以t=-

a+1

5

，6t²=b-1，
所以6•（-

a+1

5

）²=b-1，整理得6a²+12a=25b-31②，
把①代入②得6（4b-4）=25b-31，解得b=7，
则a²+2a=24，即a²+2a-24=0，解得a₁=-6，a₂=4，
当a=-6，b=7时，原方程为x²-5x+6=0，解得x₁=2，x₂=3；
当a=4，b=7时，原方程为x²+5x+6=0，解得x₁=-2，x₂=-3．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．