Question

设a²+1=3a，b²+1=3b，且a≠b，求代数式

1

a2

+

1

b2

的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：由于a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，且a≠b，于是a、b可看作方程x²-3x+1=0的两实数根，根据根与系数的关系得a+b=3，ab=1，再把

1

a2

+

1

b2

变形为

(a+b)2-2ab

(ab)2

，然后利用整体代入的方法计算．

解答：解：∵a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x²-3x+1=0的两实数根，
∴a+b=3，ab=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=

a2+b2

a2b2

=

(a+b)2-2ab

(ab)2

=

32-2×1

12

=7．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．