Question

如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：探究型

分析：可通过全等三角形来证明EN与MF相等，如果连接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位线，可得出三角形ADE，BDF，DFE，FEC都是等边三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一个∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F，E在同一直线上．

解答：解：判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，
理由如下：
连接DE，DF，EF．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∵∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，

DE=DF ∠MDF=∠NDE DM=DN

，
∴△DMF≌△DNE（SAS），
∴MF=NE；
又∵∠BDM+∠BDN=60°，∠NDF+∠BDN=60°，
∴∠BDM=∠NDF，
∴∠DFN=∠DBM=120°．
又∵∠DFE=60°．
∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°．
可得点F在NE上．

点评：此题综合运用了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质．全等是证明线段相等的常用方法，证明三点共线的方法是利用平角定义．