Question

已知，关于x的方程（k-1）x-2kx+k+2=0有解．
（1）求k的值；
（2）若x₁、x₂是方程的两个根，且（x₁-x₂）的绝对值等于2，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）分类讨论：当k-1=0，即k=1时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当k-1≠0，即k≠1，根据平表示的意义得到△=4k²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2，即当k≤2且k≠1时，方程有两个实数根，然后综合两种情况得到k的取值范围为k≤2；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，由（x₁-x₂）的绝对值等于2得到（x₁-x₂）²=4，利用完全平方公式变形得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，则（

2k

k-1

）²-4•

k+2

k-1

=4，整理得k²-k-1=0，然后解方程后利用k的范围确定k的值．

解答：解：（1）当k-1=0，即k=1时，方程化为-2x+1+2=0，解得x=

3

2

；
当k-1≠0，即k≠1，△=4k²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2，即当k≤2且k≠1时，方程有两个实数根，
所以k的取值范围为k≤2；
（2）根据题意得x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，
∵（x₁-x₂）的绝对值等于2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（

2k

k-1

）²-4•

k+2

k-1

=4，
整理得k²-k-1=0，解得k=

1± 5

2

，
∵k≤2，
∴k=

1- 5

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．