Question

如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BA=CM，BN=CA，
 （1）求证：△CAN≌△CMA；
 （2）试探索AN与AM有何关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由CF垂直于AB，BE垂直于AC，得到一对直角相等，再由对应角相等得到三角形BFM与三角形CME相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AB=CM，利用AAS得到三角形ABE与三角形MCE全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=ME，BE=CE，进而得到AE=NE，根据AE=ME=NE，且AE垂直于MN，得到三角形AMN为等腰直角三角形，且AC为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，利用SAS得到三角形ACM与三角形ACN全等；
（2）AN与AM相等且垂直，理由为：由CF垂直于AB，BE垂直于AC，得到一对直角相等，再由对应角相等得到三角形BFM与三角形CME相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AB=CM，利用AAS得到三角形ABE与三角形MCE全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=ME，BE=CE，进而得到AE=NE，根据AE=ME=NE，且AE垂直于MN．

解答：（1）证明：∵∠BFM=∠CEM=90°，∠FMB=∠EMC，
∴△BMF∽△CME，
∴∠ABE=∠MCE，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB=∠MEC=90° ∠ABE=∠MCE AB=CM

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴BE=CE，AE=EM，
∵BN=AC，
∴BN-BE=AC-CE，即AE=NE，
∴AE=ME=NE，
∴△AME和△ANE都为等腰直角三角形，
∴△MAN为等腰直角三角形，且∠MAC=∠NAC=45°，
∴AM=AN，MA⊥NA，
连接CN，
在△AMC和△ANC中，

AM=AN ∠MAC=∠NAC AC=AC

，
∴△AMC≌△ANC（SAS）；
（2）解：AN与AM相等且垂直，理由为：
∵∠BFM=∠CEM=90°，∠FMB=∠EMC，
∴△BMF∽△CME，
∴∠ABE=∠MCE，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB=∠MEC=90° ∠ABE=∠MCE AB=CM

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴BE=CE，AE=EM，
∵BN=AC，
∴BN-BE=AC-CE，即AE=NE，
∴AE=ME=NE，
∴△AME和△ANE都为等腰直角三角形，
∴△MAN为等腰直角三角形，且∠MAC=∠NAC=45°，
∴AM=AN，MA⊥NA．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．