Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（8，0），C（8，4）．

（1）试说明四边形AOBC是矩形．

（2）在x轴上取一点D，将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到△D'CB'（点D'与点D对应）．

①若OD＝3，求点D'的坐标．

②连接AD'、OD'，则AD'+OD'是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值及此时点D'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①D'的坐标为（4，9），②AD'+OD'的最小值是或4，点D'的坐标是（4，2）．

【解析】

（1）根据矩形的判定证明即可；

（2）①当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可；②当点D在原点左侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可．

（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．

∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，

∴OA＝BC，AC＝OB，

∴四边形AOBC是平行四边形，

∵∠AOB＝90°，

∴AOBC是矩形；

（2）∵AOBC是矩形，

∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，

∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应），

∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，

即点B'在AC边上，

∴D'B'⊥AC，

①如图1，当点D在原点右侧时：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，

∴点D'的坐标为（4，9）；

②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'＝DB＝8+3＝11，

∴点D'的坐标为（4，15），

综上所述：点D'的坐标为（4，9）或（4，15）．

AD'+OD'的最小值是（或4），

点D'的坐标是（4，2）．