Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，动点P从点A出发沿AC边以3cm/s的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿BC边以4cm/s的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在运动过程中，△PCQ关于直线=PQ的对称的图形是△PDQ，设运动时间为t（s）．
（1）当t=

 

，四边形PCQD是正方形；
（2）当t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）当t为何值时，使得PD∥AB？
（4）是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据四边形PCQD是正方形时，∠PQC=45°，判断出PC=CQ，列出关于t的方程解答．
（2）要使四边形PQBA是梯形，则必有PQ∥AB，可得△CPQ∽△CAB，列出关于t的等式解答即可．
（3）延长PD交CB于点E，要使PD∥AB，则必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出等式解答即可．
（4）延长PD交AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t．根据△APF∽△ACB，△QBG∽△ACB，列出关系式解答．

解答：解：（1）当四边形PCQD是正方形时，∠PQC=45°，
此时，PC=CQ，
即12-3t=4t，
解得t=

12

7

；
故答案为

12

7

．
（2）如图1：当t=2时，四边形PQBA是梯形．
理由如下：A要使四边形PQBA是梯形，则必有PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∵PC=12-3t，CQ=4t，
∴

12-3t

12

=

4t

16

，
解得t=2．
（3）如图2，当t=

12

11

时，使得PD∥AB．
理由如下：延长PD交CB于点E，要使PD∥AB，则必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，
∴

PE

AB

=

PC

AC

=

CE

CB

，
∴

PE

20

=

12-3t

12

=

CE

16

，
∴PE=20-5t，CE=16-4t，
∴DE=8-2t，
∵△QDE∽△ACB，
∴

QD

AC

=

DE

CB

，
∴

4t

12

=

8-2t

16

，
∴t=

12

11

．
（4）延长PD交AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t．要使PD⊥AB，则必有PF⊥AB，
∴△APF∽△ACB，△QBG∽△ACB，
∴

PF

3t

=

4

5

，
∴PF=

12

5

t，
∴DF=

27

5

t-12，
∵

16-4t

27t 5 -12

=

5

3

，
∴t=

36

13

．

点评：本题考查了相似性综合题，涉及正方形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，综合性强，有一定难度．