Question

8．如图，将边长为3的正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；
（3）当∠1=∠2时，求OG的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形得出边相等，角为90°，再根据HL即可证明△AOG≌△ADG；
（2）由△AOG≌△ADG和△ADP≌△ABP，得出对应角相等，即可得出结果；
（3）根据三角形全等得出角相等，证出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，得出∠1=∠2=30°，根据三角函数求出OG的长．

解答 （1）证明：∵正方形ABCO≌正方形ADEF，
∴∠AOG=∠ADG=90°，OA=AD，
在Rt△AOG和Rt△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{OA=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOG≌Rt△ADG（HL）；
（2）解：由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP，
∵△AOG≌△ADG，
∴∠1=∠DAG，
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°，
即∠DAG+∠DAP=45°．
∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°；
（3）解：∵△AOG≌△ADG，
∴∠AGO=∠AGD．
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°．
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．