Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为36cm，点O以6cm/s的速度从点B沿射线BC方向运动，射线AO交直线DC于点E.设点O运动的时间为t s.

⑴ 当t＝9时，DE的长为　　　　cm；

⑵ 设DE＝y，求y关于t的函数关系式；

⑶ 在线段BO上取点G，使得OC∶OG＝4∶5．当以OC为半径的⊙O与直线AG相切时，求t的值.

Answer 1

【答案】(1)DE=24cm;(2) （t＞0）;(3) t的值为或12.

【解析】分析：(1)根据题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质得出答案;(2)利用相似三角形的判定与性质得出y关于t的函数关系式;(3)分别利用当点O在BC边上，及当点O在BC延长线上时，得出点t的值.

详解：⑴DE=24cm.

图1 图2

⑵由正方形ABCD得：∠B=∠D=90°，AB∥DC

由题意得：BO=6t

∵ AB∥CD ∴ ∠BAO=∠AED

∴ △ABO∽△EDA

∴

∴ ，整理得：

∴ y关于x的函数关系式为：（t＞0）.

⑶设OC=4x，则OG=5x

ⅰ如图3，当点O在BC边上，⊙O切AG于点P，OP=OC=4x

△OGP中，∠OPG=90°，

∴

∴ tan∠OGP=

∴ tan∠AGB=

△ABG中，∠B=90° tan∠AGB=，解得：BG=27

∴ BC=27＋5x＋4x=36 解得：x=1

∴ s

图3 图4

ⅱ如图3，当点O在BC的延长线上时，⊙O切AG于点P，OP=OC=4x

同ⅰ可得：BG=27

∴ BC=27＋5x－4x=36 解得：x=9

∴ s

综上：当以OC为半径的⊙O与直线AG相切时，t的值为或12.

点睛:本题考查了圆的综合，勾股定理的应用及相似三角形的判定与性质等知识，正确分类讨论是解答本题的关键.